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<!DOCTYPE html>

<title>Fundamentallemma der Variationsrechnung</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Fundamentallemma der Variationsrechnung</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">In der <a href="Variationsrechnung" title="Variationsrechnung">Variationsrechnung</a> spielt das sogenannte Fundamentallemma der Variationsrechnung oder Hauptlemma der Variationsrechnung (<a href="Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englisch</a> Fundamental lemma of calculus of variations oder Dubois-Reymond lemma) eine zentrale Rolle. Es wird manchmal ebenfalls mit <a href="Fundamentalsatz_der_Variationsrechnung" title="Fundamentalsatz der Variationsrechnung">Fundamentalsatz der Variationsrechnung</a> benannt, fällt jedoch nicht mit diesem zusammen. Es handelt sich um ein bedeutendes Lemma, welches dem deutschen Mathematiker <a href="Paul_Dubois-Reymond" class="mw-redirect" title="Paul Dubois-Reymond">Paul Dubois-Reymond</a> zugerechnet wird.<a href="#cite_note-B-B-2-1">[1]</a><a href="#cite_note-Leitmann-2">[2]</a><a href="#cite_note-3">[3]</a><a href="#cite_note-4">[4]</a>

In seiner einfachsten Version macht das Fundamentallemma die folgende Aussage:<a href="#cite_note-B-B-2-1">[1]</a>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I=[a,b]\subset \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cad8a9865c17ed0c40a9e3f5eb3fe4a18df765e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.602ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle I=[a,b]\subset \mathbb {R} }" loading="lazy"> ein <a href="Kompakte_Menge" class="mw-redirect" title="Kompakte Menge">kompaktes</a> <a href="Reelles_Intervall" class="mw-redirect" title="Reelles Intervall">reelles Intervall</a> und sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\colon I\to \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\colon I\to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d110e86791d4f62da7d38c4fbc2918f716a14c25.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.614ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g\colon I\to \mathbb {R} }" loading="lazy"> eine <a href="Stetige_Funktion" title="Stetige Funktion">stetige Funktion</a>.</dd>

<dd>Es gelte für jede <a href="Stetig_differenzierbar" class="mw-redirect" title="Stetig differenzierbar">stetig differenzierbare</a> Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h\colon I\to \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h\colon I\to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/98ff1daa46f2138f8ddf343ee737b5a90d6fc4c6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.837ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h\colon I\to \mathbb {R} }" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h(a)=h(b)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h(a)=h(b)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a77441a7df541989c49282d10134384b9e356885.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.883ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle h(a)=h(b)=0}" loading="lazy">:

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{a}^{b}{g(t)\;h(t)}\;\mathrm {d} t=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef644cec8424ae20f99d4f99fcdaeb09799c7e5e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:19.225ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{a}^{b}{g(t)\;h(t)}\;\mathrm {d} t=0}" loading="lazy"></dd></dl></dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> die <a href="Nullfunktion" title="Nullfunktion">Nullfunktion</a>.</dd></dl>

Eine andere, aber insgesamt etwas weiter reichende Version des Fundamentallemmas, welche auch <a href="Integralrechnung#Mehrdimensionale_Integration" title="Integralrechnung">mehrdimensionale Integration</a> einbezieht, lautet wie folgt:<a href="#cite_note-PGC-5">[5]</a><a href="#cite_note-6">[6]</a>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega }" loading="lazy"> eine <a href="Offene_Menge" title="Offene Menge">offene</a> <a href="Teilmenge" title="Teilmenge">Teilmenge</a> des <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{N}\;(N\in \mathbb {N} )}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{N}\;(N\in \mathbb {N} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ea6cc52532c45490966278dfd4459d4bd934d428.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.406ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{N}\;(N\in \mathbb {N} )}" loading="lazy"> und sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\colon \Omega \to \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\colon \Omega \to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7a19c7680d49090599e47b0b4c1d613874a3471a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.12ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g\colon \Omega \to \mathbb {R} }" loading="lazy"> eine <a href="Lokal_integrierbare_Funktion" title="Lokal integrierbare Funktion">lokal integrierbare Funktion</a>.</dd>

<dd>Es gelte für jede <a href="Differenzierbarkeit#Stetige_Differenzierbarkeit_und_höhere_Ableitungen" title="Differenzierbarkeit">unendlich oft differenzierbare Funktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h\colon \Omega \to \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h\colon \Omega \to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5563cf1cef7687e93a01e45e89b9abc974a27eb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.343ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h\colon \Omega \to \mathbb {R} }" loading="lazy"> mit kompaktem <a href="Tr%C3%A4ger_(Mathematik)" title="Träger (Mathematik)">Träger</a>:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\Omega }{g(x)\;h(x)}\;\mathrm {d} x=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ddaf57c5db986aeeea79cb391badb84213f41829.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:20.005ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{\Omega }{g(x)\;h(x)}\;\mathrm {d} x=0}" loading="lazy"></dd></dl></dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0607b4f563220901d455691e4a1705d598fdbaeb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.377ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g=0}" loading="lazy"> <a href="Fast_%C3%BCberall" title="Fast überall">fast überall</a>.</dd></dl>

Für eine unmittelbare Anwendung beachte, dass eine lokal integrierbare Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\colon \Omega \to \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\colon \Omega \to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7a19c7680d49090599e47b0b4c1d613874a3471a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.12ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g\colon \Omega \to \mathbb {R} }" loading="lazy"> durch die Formel

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{g}(h):=\int _{\Omega }{g(x)\;h(x)}\;\mathrm {d} x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a632e57852e9676ff95be58a760e7a0982148ea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:25.016ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle T_{g}(h):=\int _{\Omega }{g(x)\;h(x)}\;\mathrm {d} x}" loading="lazy"></dd></dl>

eine <a href="Distribution_(Mathematik)" title="Distribution (Mathematik)">Distribution</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{g}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{g}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f8e95177ce2147ed7b88f95acad4c46bfd195ee1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.379ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T_{g}}" loading="lazy"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega }" loading="lazy"> definiert. Nach obigem Lemma sind zwei solche Distributionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{g_{1}}}">

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{g_{1}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f9bf34feebaa851a44c71e5e3d523c80b2970bb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.206ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T_{g_{1}}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{g_{2}}}">

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{g_{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/89dc5bdf7607fe0f8e827603d5dcfd2c401e5036.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.206ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T_{g_{2}}}" loading="lazy"> genau dann gleich, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3755e3e04ec295992b2b5331655ef83a500a05c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.163ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0261c34f2ad1e1b5317708b7f98ae13ee70ff1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.163ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g_{2}}" loading="lazy"> fast überall übereinstimmen (zum Beweis betrachte man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{1}-g_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{1}-g_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13e756dbbb49269a9fad9f4ceb095627aaba62b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.167ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle g_{1}-g_{2}}" loading="lazy">).

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-B-B-2-1">↑ <a href="#cite_ref-B-B-2_1-0">a</a> <a href="#cite_ref-B-B-2_1-1">b</a> Philippe Blanchard, Erwin Brüning: Direkte Methoden der Variationsrechnung: Ein Lehrbuch. 1982, S. 78 ff.

</li>

<li id="cite_note-Leitmann-2"><a href="#cite_ref-Leitmann_2-0">↑</a> George Leitmann: The Calculus of Variations and Optimal Control : An Introduction. Plenum Press, New York (u. a.) 1981, S. 14 ff.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Dubois-Reymond, Erläuterungen zu den Anfangsgründen der Variationsrechnung, Mathematische Annalen, Band 15, 1879, S. 283–314, hier S. 297, 300

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Oskar Bolza, Vorlesungen über Variationsrechnung, Teubner 1909, S. 26. Nach Bolza stammt der älteste Beweis von <a href="Friedrich_Stegmann" title="Friedrich Stegmann">Friedrich Stegmann</a>, Lehrbuch der Variationsrechnung, Kassel 1854, dort werden aber einschränkendere Annahmen gemacht.

</li>

<li id="cite_note-PGC-5"><a href="#cite_ref-PGC_5-0">↑</a> Philippe G. Ciarlet: Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications . 2013, S. 314.

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Über weitere Versionen gibt der entsprechende Artikel <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_lemma_of_calculus_of_variations" class="extiw external" title="en:Fundamental lemma of calculus of variations">Fundamental lemma of calculus of variations</a> im englischsprachigen Wikipedia Auskunft.

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2020-02-16" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Fundamentallemma_der_Variationsrechnung&oldid=196879956">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

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</body></html>